LA DEMOSTRACIÓN DE LA CONJETURA DE POINCARÉ, UNO DE LOS SIETE PROBLEMAS DEL MILENIO

Por: José Márquez Ceas

Sabemos que las matemáticas en Nicaragua son un gran dolor de cabeza para muchos estudiantes que estudian estas materias únicamente para pasar y llenar el pénsum curricular de la carrera escogida. El número de estudiantes nicaraguenses con dedicación y empeño en el estudio de las matemáticas es muy pequeño, y por esa razón merecen ser apoyados por el gobierno y la sociedad civil.

La triste realidad en este campo de conocimientos, que hasta ahora Nicaragua no ha podido superar, es que por razones mercantilistas o por lo que sea, los estudiantes nicaraguenses evitan las profesiones como las ingenierías y otras que requieren un alto (o mediano) nivel en matemáticas, y se enfocan en estudiar derecho, economía, administración de empresas, administración de recursos humanos, mercadeo, sicología, y otras carreras similares, casi todas saturadas y devaluadas debido al excesivo número de universidades, con poco o escaso nivel académico de calidad, que producen masivamente cantidades crecientes de profesionales cada año en esas carreras.

En contraste, es un hecho innegable que en otros países, en otras latitudes, las matemáticas, cuyo campo de estudio es muy amplio y demanda mucha especialización, son disciplinas científicas que brindan grandes satisfacciones intelectuales y económicas a quienes las cultivan.

Pero, aunque esta sea la triste realidad de Nicaragua, las universidades de prestigio y las revistas especializadas, como Dracma y otros medios, deberían iniciar una campaña que ponga en perspectiva el valor intrínseco de las matemáticas y promueva su estudio. Una campaña de este tipo la podemos apoyar profesionalmente publicando artículos en los que difundamos ejemplos concretos de connotados científicos del mundo de las matemáticas.

En este sentido quiero adelantar mi contribución mediante este breve artículo, donde expongo el caso del matemático francés, Henri Poincaré (1854-1912), formulador de la famosa ¨Conjetura de Poincaré¨, que por casi 100 años no pudo ser demostrada por ninguna de las más brillantes mentes matemáticas del mundo, que lo intentaron.

Poincaré fue el creador de la Topología, un área especializada de las matemáticas que trata sobre las propiedades y características de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas cuando cambiamos el tamaño y la forma de un objeto, de cualquier manera. La Topología estudia figuras lineales, superficies o sólidos; desde los ¨toros¨, que son superficies topológicas representadas con la imagen de un neumático, un flotador, una rosquilla o una dona, hasta nudos, redes y mapas.

En nuestro mundo de tres dimensiones la esfera es la única superficie compacta considerada ¨simplemente conexa¨, lo cual quiere decir que si hacemos un "nudo corredizo" alrededor de la zona ecuatorial de la misma y tiramos de él, el nudo se deslizará y terminará contrayéndose a un punto de la esfera sin necesidad de romper ni la esfera ni la cuerda. La superficie de una rosquilla (una dona) no tiene la propiedad de ser simplemente conexa ya que su transformación, partiendo de la esfera, requeriría romper dicha esfera para hacer el agujero de la rosquilla.

Desde antes de Poincaré los matemáticos saben que la superficie de la esfera es la única superficie cerrada (es decir, sin límites) que es simplemente conexa. En el año 1904 Poincaré conjeturó que en un mundo utópico de cuatro dimensiones las esferas-3 también tendrían esa “conectividad simple¨.

La conjetura de Poincaré en términos más precisos, es que "toda variedad de dimensión 3 cerrada y simplemente conexa es homeomorfa, es decir,  equivalente a la esfera de dimensión tres". Lo sorprendente es que en todas las dimensiones mayores que tres se conoce que la afirmación es cierta, pero no se había demostrada para el caso de la dimensión tres.

Pero como Poincaré no logró demostrar matemáticamente su propuesta, la misma quedó bautizada como ¨conjetura de Poincaré¨, quedando pendiente su eventual demostración.

La conjetura de Poincaré estuvo sin resolver durante un siglo y al comenzar el siglo 21 era uno de los problemas-no-resueltos más desafiantes de la topología algebraica, apareciendo como uno de ¨los Siete Problemas del Milenio¨ propuestos por el Instituto Clay de Matemáticas (CMI, por sus siglas en inglés) en el año 2000, entidad que al elaborar la lista de estos 7 problemas ofreció pagar un premio de US$1.0 millón por cada uno de esos problemas que se resolviera.

La ¨conjetura de Poincaré¨ fue resuelta en el lapso 2002-2003 por el genio matemático ruso Grigori Perelmann. Este extraño personaje rechazó el premio ofrecido por el CMI, así como antes había rechazado la Medalla Fields, que es el máximo premio internacional que se otorga a los matemáticos, es decir, es el premio Nobel de las matemáticas. La demostración de la Conjetura de Poincaré fue dada a conocer públicamente en el año 2006.  

Tras haber sido comprobada matemáticamente, la hipótesis o conjetura de Poincaré dejó de ser tal para convertirse en teorema: el Teorema de Poincaré. Consecuentemente, la lista de los 7 Problemas del Milenio se redujo a seis, los que al día de hoy continúan en espera de solución.

¿Quién será el próximo genio matemático que resuelva alguno de los 6 problemas restantes de la lista del CMI, y pueda ganar su millón de dólares?. Pero aún más importante, ¿cuánto tiempo se necesitará para que se resuelva uno o varios de esos 6 problemas?.

Recordemos que transcurrieron más de 300 años de intentos fallidos de parte de los matemáticos más prestigiosos del mundo, hasta que Sir Andrew John Wiles, apoyado por Richard Taylor, de Princeton, demostró matemáticamente, en 1995, la Conjetura de Fermat.

  

La Conjetura de Fermat intentaba encontrar las soluciones enteras de las siguientes dos importantes ecuaciones diofánticas: 

(1) la ¨Ecuación de Fermat ¨ : xn + yn = zn  (x a la potencia n, más y a la potencia n, es igual a z a la potencia n).

(2) la ¨Ecuación de Pell ¨ : x2 − ny2 = 1  (x al cuadrado menos n por y al cuadrado es igual a 1).

En las fotos: (1) Jules Henri Poincaré; (2) Esfera dimensión n = 3; (3) Grigori Perelmann